Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1) 取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.

(2) 以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.

（1）证明：如图,取的中点,连接.

又为的中点,则是的中位线.所以且.

又且,所以且.所以四边形是平行四边形.

所以.因为,为的中点,所以.

因为,所以.因为平面,所以.

又,所以平面.所以.

又,所以平面.又,所以平面.

（2）易知两两互相垂直,所以分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

因为,所以点.

则.设平面的法向量为,

由,得,

令,得平面的一个法向量为；显然平面的一个法向量为；

设二面角的大小为,则.

故二面角的余弦值是.