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已知f(x)=loga
1-kx
x-1
(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求k的值,并求该函数的定义域;
(2)根据(1)的结果,判断f(x)在(1,+∞)上的单调性;
(3)解关于x的不等式f(x2+2x+2)+f(-2)>0.
(1)f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=-loga
1+kx
-x-1
=loga
-x-1
1+kx

1-kx
x-1
=
-x-1
1+kx
x2-1=(kx)2-1

∴(k2-1)x2=0,又k≠1∴k=-1;
f(x)=loga
x+1
x-1

x+1
x-1
>0,得(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1
∴f(x)的定义域为{x|x<-1或x>1}.
(2)设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=loga
x2+1
x2-1
-loga
x1+1
x1-1
=loga(
x2+1
x2-1
x1-1
x1+1
)
=loga
x1x2+x1-x2-1
x1x2-x1+x2-1

又∵x2>x1>1,∴x1-x2<x2-x1.∴0<x1x2-x2+x1-1<x1x2-x1+x2-1.0<
x1x2+x1-x2-1
x1x2-x1+x2-1
<1.
当a>1时,f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在(1,+∞)上是减函数;
当0<a<1时,f(x2)-f(x1)>0,∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(3)原不等式即为f(x2+2x+2)>f(2). 当a>1时 得出,1<x2+2x+2<2,解得2<x<0,且x≠-1.
当0<a<1时,得出x2+2x+2>2,解得 x<-2,或x>0.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=
log
(4x+1)
4
+kx是偶函数,其中x∈R,且k为常数.
(1)求k的值;
(2)记g(x)=4f(x)求x∈[0,2]时,函数个g(x)的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=3x,那么f(log
 
4
1
2
)的值为
-9
-9

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已知f(x)是定义域为R上的奇函数,且当x>0时有f(x)=log 
110
x

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(2)解不等式f(x)≤2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log 
1
4
x,那么f(-
1
2
)的值是(  )
A、
1
2
B、-
1
2
C、2
D、-2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知f(x)=
log(4x+1)4
+kx是偶函数,其中x∈R,且k为常数.
(1)求k的值;
(2)记g(x)=4f(x)求x∈[0,2]时,函数个g(x)的最大值.

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