Question

【题目】设函数 （ 且 ），当点 是函数 图象上的点时，点 是函数 图象上的点.
（1）写出函数 的解析式；
（2）把 的图象向左平移a个单位得到 的图象，函数 ，是否存在实数 ，使函数 的定义域为 ，值域为 .如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理由；
（3）若当 时，恒有 ，试确定a的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：设点Q的坐标为 ，
则 ，即 .
点 在函数 图象上，
，即 ,
.
故答案为：.
（2）解： ，
，故
在 上单调递增， ，即 为 的两相异的非负的实数
即 x 2 + 2 x = x ，解得 m = 0 , n = 1。
（3）解：函数 ，
由题意 ，则 ，
又 ，且
，
，
又 对称轴为x=2a，
，则 在 上为增函数，
函数 在 上为减函数，
从而 ，
又 ，则 ，
.
【解析】（1）根据已知条件设出点O的坐标，分别将横坐标和纵坐标代入函数f（x）表达式中，即可求出y=g（x）的表达式。
（2）根据y=g（x）的图像得出y=h（x）的图像，再将函数h（x）打入函数F（x）的表达式中判断值域、定义域的取值范围。
（3）要判断恒成立，即判断.
【考点精析】通过灵活运用函数的值域，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的即可以解答此题．