Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x²-3x+3恒成立．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实数n的取值的集合A．
（3）若关于x的方程f（x）=nx-1的两根为x₁，x₂，试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≤|x₁-x₂|对任意n∈A及t∈[-3，3]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由x-1=x²-3x+3可得x=2，
故由题可知1≤f（2）≤1，
从而f（2）=1．
因此，
故b=-a，c=-2a．由x-1≤f（x）
得ax²-（+a）x+-2a≥0对x∈R恒成立，
故△=（+a）²-4a（-2a）≤0，
即9a²-4a+≤0，
解得a=，
故f（x）=x²+-
（2）由x²+-≤nx-1
得2x²+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）²-64≥0，
解得n≤-或n≥1，从而A=（-∞，-]∪[1，+∞）
（3）显然|x₁-x₂|≥0，当且仅当n=-或n=1时取得等号，
故m²+tm+1≤0对t∈[-3，3]恒成立．记g（t）=m•t+（m²+1），
则有，
即，
故m∈∅，不存在这样的实数m
分析：（1）使用待定系数法求函数的解析式，关键是根据已知条件构造方程组．
（2）当f（x）的二次系数a＞0时，f（x）≤0的解集非空?△≥0
（3）可将其转化为求的关于m的不等式组．
点评：解一元二次不等式ax²+bx+c＞0 或ax²+bx+c＜0，反映在数量关系上就是考查二次方程ax²+bx+c=0的根，反映在图形上就是考查二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的关系．因此要熟练掌握“三个二次”之间的相互转换，善于用转化思想分析解决问题．