【题目】为了了解某年龄段人群的午休睡眠质量,随机抽取了1000名该年龄段的人作为被调查者,统计了他们的午休睡眠时间,得到如图所示频率分布直方图.
(1)求这1000名被调查者的午休平均睡眠时间;(同一组中数据用该组区间中点作代表)
(2)由直方图可以认为被调查者的午休睡眠时间服从正态分布
,其中
,
分别取被调查者的平均午休睡眠时间
和方差
,那么这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟(含43.91)的人数估计有多少?
(3)如果用这1000名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况,现从全市所有该年龄段人中随机抽取2人(午休睡眠时间不高于43.91分钟)和3人(午休睡眠时间不低于73.09分钟)进行访谈后,再从抽取的这5人中推荐3人作为代表进行总结性发言,设推荐出的代表者午休睡眠时间均不高于43.91分钟的人数为,求
的分布列和数学期望.
附:①,
.②
,则
;
;
.
【答案】(1).(2)
(人).(3)分布列答案见解析,数学期望为
【解析】
(1)由频率分布直方图求出各组的概率,按照平均数公式求解;
(2)由(1)和已知可得,服从正态分布
中,
,
,根据正态分布的对称性,求出中午休睡眠时间低于43.91分钟的概率,即可求出结论;
(3)的可能值为0,1,2,求出对应值的概率,列出随机变量分布列,再由期望公式,即可求解.
(1)由题意知,第一组至第六组的中间值分别为35,45,55,65,75,85;
对应的概率值为0.1,0.2,0.3,0.15,0.15,0.1;
.
所以,这1000名被调查者的午休平均睡眠时间.
(2)因为服从正态分布
,
,
所以,
所以这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟(含43.91)的人数估计有(人).
(3)的可能值为0,1,2,
,
,
,
故的分布列为
0 | 1 | 2 | |
所以,.
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【题目】某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数
之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间( | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人数( | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求
与实际等候人数
的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)若选取的是后面4组数据,求关于
的线性回归方程
;
(2)判断(1)中的方程是否是“恰当回归方程”;
(3)为了使等候的乘客不超过35人,试用(1)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟?
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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【题目】淘汰落后产能,对生产设备进行升级改造是企业生存发展的重要前提.某企业今年对旧生产设备的一半进行了升级,剩下的一半在今后的两年内完成升级.为了分析新旧设备的生产质量,从新旧设备生产的产品中各抽取了件作为样本,对最重要的一项质量指标进行检测,该项质量指标值落在
内的产品为合格品,否则为不合格品.检测数据如下:
表1:日设备生产的产品样本频数分布表
质量指标 | ||||||
频数 | 3 | 16 | 44 | 12 | 22 | 3 |
表2:新设备生产的产品样本频数分布表
质量指标 | ||||||
频数 | 1 | 20 | 52 | 16 | 10 | 1 |
(1)根据表1和表2提供的数据,试从产品合格率的角度对新旧设备的优劣进行比较;
(2)面向市场销售时,只有合格品才能销售,这时需要对合格品的品质进行等级细分,质量指标落在内的定为优质品,质量指标落在
或
内的定为一等品,其它的合格品定为二等品.完成下面的
列联表,并判断是否有
的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与新旧设备有关;
旧设备 | 新设备 | 合计 | |
优质品及一等品 | |||
二等品及不合格品 | |||
合计 | /span> |
(3)优质品每件售价元,一等品每件售价
元,二等品每件售价
元根据表1和表2中的数据,用该组样本中优质品、一等品、二等品各自在合格品中的频率代替从合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为
(单位:元),求
的分布列和数学期望(结果保留整数).
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
,
.
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【题目】(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)
如图,椭圆的左、右焦点分别为
过
的直线交椭圆于
两点,且
(1)若,求椭圆的标准方程
(2)若求椭圆的离心率
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【题目】某班有个小组,甲、乙、丙三人分别在不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中等第
小组的那位的成绩不一样,丙比三人中第
组的那位的成绩低,三人中第
小组的那位比乙的成绩高.若将甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列,则正确的排列顺序是______.
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【题目】已知函数在
处取得极值.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求证:对于区间上任意两个自变量的值
,都有
;
(Ⅲ)若过点可作曲线
的三条切线,求实数
的取值范围.
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【题目】过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点,已知当l的斜率为
时,
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设的中垂线在
轴上的截距为
,求
的取值范围.
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【题目】下列命题:
①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.
其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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