Question

16．求（1+x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）¹⁰的展开式中的常数项为841．

Answer 1

分析 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项．

解答 解：（1+x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）¹⁰ =[1+（x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）]¹⁰ 的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•${（x+\frac{1}{{x}^{6}}）}^{r}$，
对于 ${（x+\frac{1}{{x}^{6}}）}^{r}$，它的通项公式为${C}_{r}^{k}$•x^r-7k，令r-7k=0，求得r=7k，0≤r≤10，
①当k=1，r=7时
故（1+x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）¹⁰的展开式中的常数项为${C}_{10}^{7}$•${C}_{7}^{1}$=840，
②当k=0，r=0时，
（1+x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）¹⁰的展开式中的常数项为${C}_{10}^{0}$•${C}_{0}^{0}$=1，
故答案为：840+1=841．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．