Question

4．若2sin2x+cos2x=1（x≠kπ，k∈Z），则$\frac{2co{s}^{2}x+sin2x}{1+tanx}$的值为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 由二倍角公式和已知式子可得tanx=2，弦化切并整体代入计算可得．

解答 解：∵2sin2x+cos2x=1，∴4sinxcosx=1-cos2x=2sin²x，
解得sinx=0或2cosx-sinx=0，∵x≠kπ，k∈Z，
∴sinx=0不成立，故2cosx-sinx=0，即tanx=2，
∴$\frac{2co{s}^{2}x+sin2x}{1+tanx}$=$\frac{1}{3}$（2cos²x+sin2x）
=$\frac{1}{3}$•$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{2+2tanx}{1+ta{n}^{2}x}$=$\frac{2}{5}$，
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系，涉及二倍角公式以及弦化切的思想，属中档题．