Question

9．已知函数y=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=-$\frac{π}{8}$对称，求函数y=sinx+mcosx的周期和值域．

Answer 1

分析 先将函数y=sin2x+mcos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得m的值，再根据周期的定义和三角函数的性质求出值域．

解答 解：由题意知y=sin2x+mcos2x=$\sqrt{{m}^{2}+1}$sin（2x+φ），
当x=-$\frac{π}{8}$时函数y=sin2x+mcos2x取到最值±$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
将x=-$\frac{π}{8}$代入可得：sin（-$\frac{π}{4}$）+mcos（-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m-1）=±$\sqrt{{m}^{2}+1}$，解得m=-1．
故函数f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，属于中档题．