Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，-2）．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{4}$（纵坐标不变），然后再将新的图象向x轴正方向平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）依题意，可求得A，由T=6π可求ω，函数图象过（π，2）可求φ；
（2）根据函数图象的周期变换及平移变换法则，结合（1）中函数的解析式，即可求出函数y=g（x）的解析式．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由题意知：A=2，…（1分）
∵T=6π，
∴$\frac{2π}{ω}$=6π得
ω=$\frac{1}{3}$，…（3分）
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+φ），
∵函数图象过（π，2），
∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
∵-$\frac{π}{6}$＜φ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{6}$…（5分）
∴A=2，ω=$\frac{1}{3}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．…（6分）
（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{4}$（纵坐标不变），可得函数y=2sin（$\frac{4}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的图象，
然后再将新的图象向x轴正方向平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数g（x）=2sin[$\frac{4}{3}$（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{4x}{3}$-$\frac{5π}{18}$）的图象．
故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（$\frac{4x}{3}$-$\frac{5π}{18}$）．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．