Question

1．已知tanθ与tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的两个根，求证：q=p+1．

Answer 1

分析 由tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的两个根，根据一元二次方程的根的分布与系数关系得到tanθ+tan（$\frac{π}{4}$-θ）=-p，tanθ•tan（$\frac{π}{4}$-θ）=q，再根据两角差的正切公式即可得到证明．

解答 证明：由tanθ和tan（$\frac{π}{4}$-θ）是方程x²+px+q=0的两个根，
得tanθ+tan（$\frac{π}{4}$-θ）=-p，tanθtan（$\frac{π}{4}$-θ）=q，
又∵1=tan[θ+（$\frac{π}{4}$-θ）]=$\frac{tanθ+tan（\frac{π}{4}-θ）}{1-tanθ•tan（\frac{π}{4}-θ）}$=$\frac{-p}{1-q}$，
得到q=p+1．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，是基础题．