Question

7．在正四面体S-ABC中，若P为棱SC的中点，那么异面直线PB与SA所成的角的余弦值等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{33}}}{6}$

Answer 1

分析 取AC中点O，连结PO，BO，∠BPO是异面直线PB与SA所成的角，由此能求出异面直线PB与SA所成的角的余弦值．

解答 解：取AC中点O，连结PO，BO，设正四面体S-ABC的棱长为2，
则PO∥SA，且PO=$\frac{1}{2}$SA=1，BO=BP=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BPO是异面直线PB与SA所成的角，
cos∠BPO=$\frac{P{O}^{2}+P{B}^{2}-B{O}^{2}}{2PO•PB}$=$\frac{1+3-3}{2×1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴异面直线PB与SA所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．