Question

2．已知圆C：x²-4x+y²=0，过点P（-1，0）作直线l与圆C相交于M，N两点．
（I）当直线l的倾斜角为30°时，求|MN|的长；
（Ⅱ）设直线l的斜率为k，当∠MCN为钝角时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆C：x²-4x+y²=0的圆心坐标为C（2，0），半径为2，CQ=sin30°×PC=$\frac{3}{2}＜2$，由此能求出|MN|．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}-4x+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（2k²-4）x+k²=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）圆C：x²-4x+y²=0的圆心坐标为C（2，0），半径为2，
∵P（-1，0），∴PC=3，
当直线l的倾斜角为30°时，过圆心C作直线l的垂线，垂足为Q，
在Rt△PQC中，sin30°=$\frac{CQ}{PC}$，∴CQ=sin30°×PC=$\frac{3}{2}＜2$，
∴|MN|=2$\sqrt{4-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
（Ⅱ）根据题意，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}-4x+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（2k²-4）x+k²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则△=（2k²-4）²-4（1+k²）k²＞0，
解得$0＜{k}^{2}＜\frac{5}{4}$，
由韦达定理得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
当∠MCN为钝角时，$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}＜0$，
∵$\overrightarrow{CM}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{CN}$=（x₂-2，y₂），
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$=（x₁-2，y₂）•（x₂-2，y₂）
=x₁x₂-2（x₁+x₂）-4+y₁y₂
=$（1+{k}^{2}）{{x}_{1}{x}_{2}+（k}^{2}-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}+4$
=$（1+{k}^{2}）•\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+（k²-2）•$\frac{4-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+k²+4
=$\frac{14{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$＜0，得14k²＜4，
∴-$\frac{\sqrt{14}}{7}＜k＜\frac{\sqrt{14}}{7}$，k≠0，且满足0＜k²＜$\frac{4}{5}$，
∴k的取值范围是（-$\frac{\sqrt{14}}{7}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{14}}{7}$）．

点评 本题考查线段长的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用．