Question

12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$，若将f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；     
 （2）求f（x）的对称轴及单调区间；
（3）若对任意x∈[0，$\frac{π}{3}}$]，f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的周期性、奇偶性，求得ω和φ的值，可得f（x）的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调区间．
（3）利用正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，求得m的范围．

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}=2×\frac{π}{2}$，∴ω=2∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又$g（x）=sin[2（x-\frac{π}{6}）+φ]-b+\sqrt{3}$为奇函数，且0＜φ＜π，则$φ=\frac{π}{3}$，$b=\sqrt{3}$，故$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$．
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，可得f（x）的图象的对称轴为$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的增区间为$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]（k∈Z）$．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得函数的减区间为$[{\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ}]（k∈Z）$．
（3）由于$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$，故$-\sqrt{3}≤f（x）≤1-\sqrt{3}$$-1-\sqrt{3}≤f（x）-1≤-\sqrt{3}$，∵f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，
整理可得$m≤\frac{1}{f（x）-1}+f（x）-1$．
由$-1-\sqrt{3}≤f（x）-1≤-\sqrt{3}$，得：$\frac{{-1-3\sqrt{3}}}{2}≤\frac{1}{f（x）-1}+f（x）-1≤-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，故$m≤\frac{{-1-3\sqrt{3}}}{2}$，
即m取值范围是$（{-∞，\frac{{-1-3\sqrt{3}}}{2}}]$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性、奇偶性，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．