Question

7．平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，沿BD将四边形折成直二面角A-BD-C，且2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=8，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为8π．

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC，进而根据2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=8，求出三棱锥A-BCD的外接球的半径，可得三棱锥A-BCD的外接球的表面积．

解答 解：平行四边形ABCD中，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0
∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A-BD-C，
∵平面ABD⊥平面BDC
三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC，
∴AC²=AB²+BD²+CD²=2AB²+BD²=8
∴外接球的半径为$\sqrt{2}$，
故表面积是8π．
故答案为：8π．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，平面向量数量积的运算，其中根据已知求出三棱锥A-BCD的外接球的半径是解答的关键．