Question

19．已知O点为△ABC所在平面内一点，且满足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，现将一粒质点随机撒在△ABC内，若质点落在△AOC的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 要求该概率即求S_△AOC：S_△ABC=的比值．由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，变形为，3$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}$，得到O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．

解答 解：以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，则$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，∴3$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}$，作AB的两个三等分点E，F，则$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{EO}$，
∴O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，如图
∴S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△AOC内的概率为P=$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$；
故选：B．

点评 本题给出点O满足的条件，求O点落在△AOC内的概率，利用面积比求得；着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识．