Question

已知圆M：(x＋1)²＋y²＝1，圆N：(x－1)²＋y²＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

Answer 1

解　(1)设圆P的半径为r，则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，∴|PM|＋|PN|＝4>|MN|，∴P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b²＝a²－c²＝3.

∴P的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．

(2)由(1)知2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，

∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．

圆P的方程为(x－2)²＋y²＝4.

①当l的倾斜角为90°，方程为x＝0时，|AB|＝2，

②当l的倾斜角不为90°，

设l的方程为y＝kx＋b(k∈R)，

∴l的方程为y＝x＋，y＝－x－.

联立方程化简得7x²＋8x－8＝0，

∴x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝－，

∴|AB|＝＝.

当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.

综上，|AB|＝2或.