Question

如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃.问：是否存在常数λ，使得k₁＋k₂＝λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解　(1)由P在椭圆上，得＋＝1①

依题设知a＝2c，则b²＝3c²，②

②代入①，解得c²＝1，a²＝4，b²＝3.

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)法一　由题意可设AB的斜率为k，

则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③

代入椭圆方程3x²＋4y²＝12，并整理，得

(4k²＋3)x²－8k²x＋4(k²－3)＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则有x₁＋x₂＝

在方程③中令x＝4，得M的坐标为(4,3k)．

从而

注意到A，F，B共线，则有k＝k_AF＝k_BF，

即有＝k.

所以k₁＋k₂＝

＝

＝2k－·，⑤

④代入⑤，

得k₁＋k₂＝2k－·＝2k－1，

又k₃＝k－，所以k₁＋k₂＝2k₃.

故存在常数λ＝2符合题意．

法二　设B(x₀，y₀)(x₀≠1)，

则直线FB的方程为y＝ (x－1)，

令x＝4，求得

从而直线PM的斜率为k₃＝，

联立得A，

则直线PA的斜率为k₁＝，

直线PB的斜率为k₂＝，

所以k₁＋k₂＝

＝＝2k₃，

故存在常数λ＝2符合题意.