Question

20．设三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且边长c=1，cosBsinC-（a-sinB）cosC=0：
（1）求角C的大小；
（2）求ab的取值范围．

Answer 1

分析 （1）cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，化为sinA-acosC=0，利用正弦定理即可得出．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，化为sinA-acosC=0，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{cosC}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sinC}$，
∴sinC=cosC，∴tanC=1，C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴1≥2ab-2ab×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为：ab$≤\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，当且仅当a=b=$\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$时取等号．
∴ab∈$（0，\frac{2+\sqrt{2}}{2}]$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式的性质、和差化积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．