Question

18．已知△ABC中，sinA=sinC•cosB，且△ABC的面积S为8．
（1）求角C的大小；
（2）求|$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{BC}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理，两角和正弦函数公式化简已知可得sinBcosC=0，结合sinB≠0，可得cosC=0，从而可求C的值．
（2）利用已知及三角形面积公式可求AC•BC=16，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可得|$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{AC}}^{2}+4{\overrightarrow{BC}}^{2}}$≥$\sqrt{2AC•2BC}$≥8，即可得解．

解答 （本题满分12分）
解：（1）∵△ABC中，A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，
∴sinBcosC=0，
∵sinB≠0，可得：cosC=0，
∴C=$\frac{π}{2}$．…6分
（2）∵在Rt△ABC中，S=$\frac{1}{2}$AC•BC=8，可得：AC•BC=16，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴|$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{AC}}^{2}+4{\overrightarrow{BC}}^{2}+4\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{AC}}^{2}+4{\overrightarrow{BC}}^{2}}$≥$\sqrt{2AC•2BC}$≥8，
∴当且仅当|AC|=2|BC|=4$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{BC}$|_min=8．…12分

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，两角和正弦函数公式，三角形面积公式，平面向量数量积的运算，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．