Question

7．若数列{a_n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}为周期数列，周期为T．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1．{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$a₁=m（m＞0），有以下结论：
①若m=$\frac{4}{5}$，则a₃=3；
②若a₃=2，则m可以取3个不同的值；
③若m=$\sqrt{2}$，则{a_n}是周期为3的数列；
④存在m∈Q且m≥2，数列{a_n}是周期数列．
其中正确结论的序号是②③．

Answer 1

分析 对于①，直接代值，根据数列的递推公式关系即可求出，
对于②，由a₃=2，分类讨论即可求出m的值，
对于③由②可知正确m=$\sqrt{2}$＞1，所以数列{a_n}是周期为3的数列，
对于④，利用反证法，假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{a_n}是周期数列，得出假设不正确．

解答 解：对于①，当m=$\frac{4}{5}$时，a₂=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{4}$，a₃=a₂-1=$\frac{5}{4}$-1=$\frac{1}{4}$，故①为不正确，
对于②由a₃=2，若a₃=a₂-1=2，则a₂=3，若a₁-1=3，则a₁=4．
若a₁=3，则$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$．
由a₃=2，若a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$，则a₂=$\frac{1}{2}$，若a₁-1=$\frac{1}{2}$，则a₁=$\frac{3}{2}$．
若$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，则a₁=2，不合题意．
所以，a₃=2时，m即a₁的不同取值有3个．故②正确，
对于③，m=$\sqrt{2}$＞1，所以数列{a_n}是周期为3的数列，所以③正确；
对于④，假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{a_n}是周期数列．则当m=2时，a₂=a₁-1=1，∴a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$=…=a_n（n≥2），此时数列{a_n}不是周期数列．
当m＞2时，当0＜m-k≤1时，a_k+1=a₁-k=m-k．∴a_k+2=$\frac{1}{{a}_{k+1}}$=$\frac{1}{m-k}$＞1．若a_k+2=a_i，1≤i≤k+1，则$\frac{1}{m-k}$=m-（i-1），化为m²-m（k+i-1）+ki-k-1=0，则△=（k+i-1）²-4（ki-k-1）不为平方数，因此假设不正确．可知④不正确．
综上可知：只有②③正确
故答案为：②③

点评 本题考查了简单的合情推理，考查了分类讨论的数学思想，训练了学生的计算能力，是中档题．