Question

2．设点P是△ABC内一点（不包括边界），且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m、n∈R），则m²+（n-2）²的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{5}$）
• B． （1，5）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，5）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 根据题意可得m、n满足的不等式组，在mon坐标系内作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划，结合两点间的距离是即可得到结论．

解答 解：∵点P在△ABC内部，$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{m+n＜1}\end{array}\right.$，
∵在直角坐标系mon内，m²+（n-2）²表示平面区域$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{m+n＜1}\end{array}\right.$内的点（m，n）到点（0，2）的距离的平方．
∴数形结合知（0，2）到（0，1）的距离最小，到（1，0）的距离最大
∴最小距离为1，最大距离为$\sqrt{（0-1）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴m²+（n-2）²的取值范围是 （1，5），
故选B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，以平面向量为载体，求（m-1）²+（n-1）²+1的取值范围．着重考查了向量的线性运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，综合性较强，难度较大．