Question

15．在数列{a_n}中，若a₁=2，$\frac{{{3^{{a_{n+1}}}}}}{{{3^{a_n}}}}$=1+$\frac{1}{n}$，则a₉=4．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，然后利用累积法结合对数的运算性质求解．

解答 解：由$\frac{{{3^{{a_{n+1}}}}}}{{{3^{a_n}}}}$=1+$\frac{1}{n}$，得${3}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=1+\frac{1}{n}$，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=lo{g}_{3}（1+\frac{1}{n}）$，
又a₁=2，
∴a₉=（a₉-a₈）+（a₈-a₇）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$lo{g}_{3}（1+\frac{1}{8}）+lo{g}_{3}（1+\frac{1}{7}）+…+lo{g}_{3}（1+\frac{1}{1}）+2$
=$lo{g}_{3}（\frac{9}{8}×\frac{8}{7}×…×\frac{2}{1}）+2$=log₃9+2=4．
故答案为：4．

点评 本题考查数列递推式，考查了对数的运算性质，训练了累积法求数列的通项公式，是中档题．