Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，q≠0，q≠1．证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充要条件是Sn=

a1(1-qn)

1-q

．

Answer 1

考点：等比关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：可从充分性与必要性两个方面进行证明：充分性，由S_n=

a1(1-qn)

1-q

去推证数列{a_n}为等比数列；必要性，由数列{a_n}是公比为q的等比数列（q≠1），去推证S_n=

a1(1-qn)

1-q

．

解答： 证明：充分性：∵q≠1，数列{a_n}的前n项和为S_n=

a1(1-qn)

1-q

=a₁（1+q+q²+…+q^n-1），
∴当n≥2时，S_n-1=a₁（1+q+q²+…+q^n-2），
∴a_n=S_n-S_n-1=a₁•q^n-1，
∴a_n+1=a₁•qⁿ，
∵又q≠0，
∴

an+1

an

=q，
∴数列{a_n}为等比数列；
必要性：∵数列{a_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，数列{a_n}的前n项和为S_n，
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

．

点评：本题考查等比关系的确定与等比数列的求和公式的应用，考查分析推理与证明的能力，属于中档题．