Question

已知函数f（x）满足f（-x）=f（x）和f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=1-x，则关于x的方程f（x）=（

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3

）^x在x∈[0，4]上解的个数是（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，函数f（x）为偶函数，且是周期为2的周期函数，本题即求函数y=f（x）的图象与函数y=（

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3

）^x的图象在[0，4]上的交点个数，数形结合可得结论．

解答： 解：由题意可得，函数f（x）为偶函数，且是周期为2的周期函数．
方程f（x）=（

1

3

）^x在x∈[0，4]上解的个数，
即函数y=f（x）的图象与函数y=（

1

3

）^x的图象在[0，4]上的交点个数，
再根据当x∈[0，1]时，f（x）=1-x，
画出函数f（x）在[0，4]上的图象，数形结合可得，
函数y=f（x）的图象与函数y=（

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3

）^x的图象在[0，4]上的交点个数为4，
故选：B．

点评：本题主要考查函数的单调性、奇偶性的应用，函数零点与方程的根的关系，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．