Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．
（1）若椭圆C上一动点M₁满足|

M1F1

|+|

M1F2

|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2

3

，求P点的坐标；
（3）已知m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

3

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m²），（n，n²）的直线的最短距离dmin=

a2+b2

-b．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义，可得椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，根据直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2

3

，直线l与椭圆C只有一个交点，建立方程组，即可求P点的坐标；
（3）求出过两点（m，m²），（n，n²）的直线方程，利用最短距离

a2+b2

-b，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意，c=

2

，a=2，∴b=

a2-c2

=

2

，所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
其“伴随圆”的方程为x²+y²=6；
（2）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程为（2k²+1）x²+4tkx+2t²-4=0
∴由△=（4tk）²-8（2k²+1）（t²-2）=0得t²=4k²+2①，
由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2

3

，可得

|t|

k2+1

=

3

，即t²=3（k²+1）②
由①②可得t²=6．
∵t＜0，∴t=-

6

，∴P（0，-

6

）；
（3）过两点（m，m²），（n，n²）的直线的方程为

x-m

m-n

=

y-m2

m2-n2

，∴y=（m+n）x-mn，
∵m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

3

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），
∴y=-

cosθ

sinθ

x+

3

sinθ

，得xcosθ+ysinθ-3=0，
∴由于圆心（0，0）到直线xcosθ+ysinθ-3=0的距离为d=

3

cos2θ+sin2θ

=3．
当a²+b²≥9时，d_min=0，等式不能成立；
当a²+b²＜9时，d_min=3-

a2+b2

，由3-

a2+b2

=

a2+b2

-b得9+6b+b²=4a²+4b²．
因为a²=b²+2，所以7b²-6b-1=0，
∴（7b+1）（b-1）=0，∴b=1，a=

3

．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．