Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+

π

6

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个点为M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知m∈R，p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对x∈[0，

π

4

]恒成立；q：函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知可求出函数的周期，进而求出ω值，代入点M（

2π

3

，-2）可得A值，进而求出f（x）的解析式．
（2）由题意可得，p与q一个为真，另一个为假．分别由p真求得实数m的取值范围、由q真求得实数m的取值范围．从而求得p真q假时实数m的取值范围，以及p假q真时，实数m的取值范围，再把这两个范围取并集，即得所求．

解答：解：：（1）∵f（x）=Asin（ωx+

π

6

）的图象与x轴相邻两个交点之间的距离为

π

2

，∴最小正周期T=π=

2π

ω

．
又∵ω＞0，∴ω=2．
又∵图象上一个点为M（

2π

3

，-2）．∴-2=Asin（

4π

3

+

π

6

），解得A=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）∵“p或q”为真，“p且q”为假，故p与q一个为真，另一个为假．
由p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对x∈[0，

π

4

]恒成立，可得 f_min（x）≥m²+2m-2对x∈[0，

π

4

]恒成立．
由

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

 可得当2x+

π

6

=

π

6

时，f_min（x）=2×

1

2

=1，∴1≥m²+2m-2，解得-3≤m≤1．
由q：函数y=（m²-1）^x是增函数，可得 m²-1＞1，解得 m＞

2

，或 m＜-

2

．
若p真q假，则得-

2

≤m≤1； 若p假q真，则得  m＞

2

，或 m＜-3．
综上可得，实数m的取值范围为（-∞，-3）∪[-

2

，1]∪（

2

，+∞）．

点评：识点是正弦型函数解析式是求法，正弦型函数的图象和性质，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．