Question

【题目】在平面直角坐标系中有如下正确结论：为曲线（、为非零实数，且不同时为负）上一点,则过点的切线方程为．

(1)已知为椭圆上一点,为过点的椭圆的切线，若直线与直线的斜率分别为与,求证：为定值；

(2)过椭圆上一点引椭圆的切线,与轴交于点．若为正三角形,求椭圆的方程；

(3)求与圆及(2)中的椭圆均相切的直线与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)

【解析】

(1)根据已知题目中所给的结论结合斜率公式可以证明出为定值；

(2) 由题目中的结论求出椭圆切线方程,求出点的坐标,根据等边三角形三边相等列出方程组,即可求出的值；

(3)设出直线的方程,根据与圆相切和(2)中椭圆相切,得到两个等式,求出三角形的面积表达式,最后利用基本不等式可以求出三角形的面积的取值范围．

(1) 为椭圆上一点,为过点的椭圆的切线,所以的方程为：,由题意可知：,所以

为定值；

(2)设点的坐标为：,由已知所给的结论可知：过椭圆上一点引椭圆的切线的方程为：,与题意可知：点的坐标为：.

.

因为为正三角形,所以三边相等,因此有方程组：

,因为点在椭圆上,所以

椭圆的方程为；

(3)设直线的方程为：,由题意可知：.与两个坐标轴的交点坐标分别为：,所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：.

因为直线与相切,所以方程组：有唯一解,

即方程有唯一实根,故,

即.

因为直线与相切,所以方程组：有唯一解,

即方程有唯一实根,故,

即,而,所以

因为,所以,因为,所以这个不等式恒成立.

(当且仅当时取等号,即

取等号),所以直线与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围为.