Question

【题目】动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线

（1）求曲线的方程

（2）设点，动点在曲线上运动时，的最短距离为，求的值以及取到最小值时点的坐标

（3）设为曲线的任意两点，满足（为原点），试问直线是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；（3）恒过定点，理由见解析

【解析】

（1）由抛物线定义可知轨迹为抛物线，结合焦点坐标求得曲线方程；

（2）设，由两点间距离公式可得到，结合二次函数的性质可知当时，取得最小值，从而构造方程求得；利用求得，从而得到点坐标；

（3）将直线方程与抛物线方程联立可得坐标；由两点连线斜率公式求得直线斜率，进而得到直线的方程，整理可得恒过的定点坐标.

（1）由抛物线定义可知，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线

曲线的方程为：

（2）设

当时，，解得：

此时

（3）由题意知，直线斜率均存在且均不为零，可记为

，与抛物线方程联立得：

同理可得： 直线斜率为

直线方程为：

整理可得： 当，时等式恒成立

直线恒过点