【题目】某学校高一、高二、高三三个年级共有
名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了
名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）.
高一年级 |
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高二年级 |
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高三年级 |
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（1）试估计该校高三年级的教师人数；
（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；
（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是
， 
， 
（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为
，表格中的数据平均数记为
，试判断
与
的大小，并说明理由.
【答案】(1)120人；(2) 
；(3)答案见解析.
【解析】分析：抽出的
位教师中，来自高三年级的有
名，根据分层抽样方法，能求出高三年级的教师共有多少人；（2）从高一、高二年级分别抽取一人，共有
种基本结果，利用列举法求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果种数为
，由古典概型概率公式可得结果；（3）利用平均数公式求出平均数，能判断
与
的大小.
详解：（1）抽出的
位教师中，来自高三年级的有
名，
根据分层抽样方法，高三年级的教师共有
（人）
（2）从高一、高二年级分别抽取一人，共有
种基本结果，该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果有
（3）
,
三组总平均值
.
新加入的三个数
， 
， 
的平均数为
，比
小.
故拉低了平均值.∴
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【题目】已知函数
.
（1）若在函数
的定义域内存在区间
，使得函数在区间
上为减函数，求实数
的取值范围；
（2）当
时，若曲线
： 
在点
处的切线
与曲线
有且只有一个公共点，求
的值或取值范围.
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【题目】某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数
（
且
）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求
的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．
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【题目】某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
（1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设
=“一年内需要维修k次”，k=0,1,2,3,请填写下表：
事件 |
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|
|
概率 |
事件
是否满足两两互斥？是否满足等可能性？
（2）求下列事件的概率：
①A=“在1年内需要维修”;
②B=“在1年内不需要维修”；
③C=“在1年内维修不超过1次”.
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【题目】下面几个命题中，假命题是（ ）
A. “若
，则
”的否命题
B. “
，函数
在定义域内单调递增”的否定
C. “
是函数
的一个周期”或“
是函数
的一个周期”
D. “
”是“
”的必要条件
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【题目】将圆
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的
倍，得曲线
.
写出的参数方程；
设直线
与的交点为
，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段
的中点且与
垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】若一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.那么在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
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【题目】已知三棱锥
(如图1)的平面展开图（如图2）中，四边形
为边长等于
的正方形，
和
均为正三角形，在三棱锥中：
（1）证明：平面
平面
；
（2）若点
在棱
上运动，当直线
与平面
所成的角最大时，求二面角
的正切值．
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