【题目】已知函数.
(1)若在函数的定义域内存在区间,使得函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;
(2)当时,若曲线: 在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求的值或取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1),通过当,当时,求解实数的取值范围;(2)求出切线方程,转化在上有且只有一解.构造函数,求出函数有零点,通过求解导函数,讨论当时,当时,判断函数的单调性,利用函数的零点.推出的范围.
试题解析:(1),即在上有解.
当时显然成立;
当时,由于函数的图象的对称轴,故需且只需,即,解得.故
综上所述,实数的取值范围为.
(2), ,故切线方程为,即.从而方程在上有且只有一解,
设,则在上有且只有一个零点.
又,故函数有零点,则.
当时, ,又不是常数函数,故在上单调递增,∴函数有且只有一个零点,满足题意.
当时,由得或且,由得或;由得.故当在上变化时, , 的变化情况如下表:
根据上表知.
又
∴,故在上,函数又有一个零点,不满足题意.
综上所述, .
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【题目】物联网(Internet of Things,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络. 其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景. 现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位:万元),仓库到车站的距离(单位:千米,),其中与成反比,每月库存货物费(单位:万元)与成正比;若在距离车站9千米处建仓库,则和分别为2万元和7. 2万元. 这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小?最小费用是多少?
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【题目】设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的,都有成立,称函数与在上互为“互换函数”.
(1)函数与在上互为“互换函数”,求集合;
(2)若函数 (且)与在集合上互为“互换函数”,求证:;
(3)函数与在集合且上互为“互换函数”,当时,,且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式.
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【题目】在某届世界杯足球赛上,a,b,c,d四支球队进入了最后的比赛,在第一轮的两场比赛中,a对b,c对d,然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛,这两场比赛的负者比赛,决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd(表示a胜b,c胜d,然后a胜c,b胜d).
(1)写出比赛所有可能结果构成的样本空间;
(2)设事件A表示a队获得冠军,写出A包含的所有可能结果;
(3)设事件B表示a队进入冠亚军决赛,写出B包含的所有可能结果.
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【题目】关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计的值,试验步骤如下:①先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对;②若卡片上的能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交;③统计上交的卡片数,记为;④根据统计数估计的值.假如本次试验的统计结果是,那么可以估计的值约为( )
A. B. C. D.
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【题目】某学校高一、高二、高三三个年级共有名教师,为调查他们的备课时间情况,通过分层抽样获得了名教师一周的备课时间,数据如下表(单位:小时).
高一年级 | ||||||||
高二年级 | ||||||||
高三年级 |
(1)试估计该校高三年级的教师人数;
(2)从高一年级和高二年级抽出的教师中,各随机选取一人,高一年级选出的人记为甲,高二年级选出的人记为乙,求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率;
(3)再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师,他们该周的备课时间分别是, , (单位:小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为,表格中的数据平均数记为,试判断与的大小,并说明理由.
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