【题目】设函数和
都是定义在集合
上的函数,对于任意的
,都有
成立,称函数
与
在
上互为“互换函数”.
(1)函数与
在
上互为“互换函数”,求集合
;
(2)若函数 (
且
)与
在集合
上互为“互换函数”,求证:
;
(3)函数与
在集合
且
上互为“互换函数”,当
时,
,且
在
上是偶函数,求函数
在集合
上的解析式.
【答案】(1)(2)见解析(3)
,
【解析】
(1)利用列方程,并用二倍角公式进行化简,求得
或
,进而求得集合
.
(2)由,得
(
且
),化简后根据
的取值范围,求得
的取值范围.
(3)首先根据为偶函数,求得当
时,
的解析式,从而求得当
时,
的解析式.依题意“当
,
恒成立”,化简得到
,根据函数解析式的求法,求得
时,
以及
,进而求得函数
在集合
上的解析式.
(1)由得
化简得,,所以
或
.
由解得
或
,
,
即或
,
.
又由解得
,
.
所以集合,或
,
即集合.
(2)证明:由,得
(
且
).
变形得 ,所以
.
因为,则
,所以
.
(3)因为函数在
上是偶函数,则
.当
,则
,所以
.所以
,
因此当时,
.
由于与函数
在集合
上“互换函数”,
所以当,
恒成立.
即对于任意的
恒成立.
即.
于是有,
,
.
上述等式相加得 ,即
.
当(
)时,
,
所以 .
而,
,
所以当时,
,
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调查,已知其中两个摸底学校分别有人、
人,现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了
名学生的数学成绩,并作出了频数分别统计表如下:(一年级人数为
人的学校记为学校一,一年级人数为1000人的学校记为学校二)
学校一
分组 | ||||
频道 | ||||
分组 | ||||
频数 |
学校二
分组 | ||||
频道 | ||||
分组 | ||||
频数 |
(1)计算,
的值.
(2)若规定考试成绩在内为优秀,请分别估计两个学校数学成绩的优秀率;
(3)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有
的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
学校一 | 学校二 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 |
附:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=
(
>0),过点
的直线
的参数方程为
(t为参数),直线
与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求
的值.
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【题目】如图,三棱柱中,四边形
为菱形,
,平面
平面
,
在线段
上移动,
为棱
的中点.
(1)若为线段
的中点,
为
中点,延长
交
于
,求证:
平面
;
(2)若二面角的平面角的余弦值为
,求点
到平面
的距离.
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【题目】已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lgan,b3=18,b6=12,则数列{bn}的前n项和的最大值等于( )
A. 126 B. 130 C. 132 D. 134
【答案】C
【解析】
由题意可知,lga3=b3,lga6=b6再由b3,b6,用a1和q表示出a3和b6,进而求得q和a1,根据{an}为正项等比数列推知{bn}为等差数列,进而得出数列bn的通项公式和前n项和,可知Sn的表达式为一元二次函数,根据其单调性进而求得Sn的最大值.
由题意可知,lga3=b3,lga6=b6.
又∵b3=18,b6=12,则a1q2=1018,a1q5=1012,
∴q3=10﹣6.
即q=10﹣2,∴a1=1022.
又∵{an}为正项等比数列,
∴{bn}为等差数列,
且d=﹣2,b1=22.
故bn=22+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+24.
∴Sn=22n+×(﹣2)
=﹣n2+23n=,又∵n∈N*,故n=11或12时,(Sn)max=132.
故答案为:C.
【点睛】
这个题目考查的是等比数列的性质和应用;解决等差等比数列的小题时,常见的思路是可以化基本量,解方程;利用等差等比数列的性质解决题目;还有就是如果题目中涉及到的项较多时,可以观察项和项之间的脚码间的关系,也可以通过这个发现规律。
【题型】单选题
【结束】
12
【题目】已知数列是递增数列,且对
,都有
,则实数
的取值范围是
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为
,将函数
的图象向左平移
个单位,得到的图象关于
轴对称,则( )
A. 函数的周期为
B. 函数
图象关于点
对称
C. 函数图象关于直线
对称 D. 函数
在
上单调
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【题目】已知函数.
(1)若在函数的定义域内存在区间
,使得函数在区间
上为减函数,求实数
的取值范围;
(2)当时,若曲线
:
在点
处的切线
与曲线
有且只有一个公共点,求
的值或取值范围.
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【题目】某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数(
且
)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求的函数关系式;
(2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完?请说明理由.
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