Question

已知A、B、C是抛物线y²=2px上的三点，且BC与x轴垂直，直线AB，AC分别与抛物线的轴交于D、E两点，求证：抛物线的顶点平分线段DE．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设出抛物线的参数方程及B，C，A的坐标，则直线AC，AB的直线方程可表示出来，进而求得AC，AB与x轴的交点D，E的坐标，进而可证明结论．

解答： 解：抛物线参数方程为y=t，x=′

t2

2p

，
设B（

t 2 1

2p

，t₁），C（

t 2 1

2p

，-t₁），A（

t 2 2

2p

，t₂）
所以求得AC的直线方程为
y-t₂=

(t2-t1)(x- t 2 2 2p )

t 2 2 2p - t 2 1 2p

化简y-t₂=

2p(x- t 2 2 2p )

t1+t2

同理求得直线AB方程为
y-t₂=

2p(x- t 2 2 2p )

t2-t1

，
∴可以求出AB、AC与x轴即抛物线轴交点
D（-

t1•t2

2p

，0）、E（

t1t2

2p

，0）
所以，抛物线的顶点平分线段DE

点评：本题主要考查了抛物线的方程，参数方程，直线方程的相关问题．考查了学生基础知识综合运用．