Question

设F为抛物线y²=4x的焦点，A是抛物线上一点，B是圆C：x²+y²+6x+6y+14=0上任意一点，设点A到y轴的距离为m，则m+|AB|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把圆的方程化成标准式，求得圆的圆心和半径，利用抛物线的标准方程求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义可知点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，进而问题转换为焦点到A点距离与A点到B的距离问题，推断出当A，B，F三点共线时A到点B的距离与点A到抛物线的焦点F距离之和的最小．

解答： 解：圆C：（x+3）²+（y+3）²=4，表示为以（-3，-3）为圆心设为O，2为半径的圆，
抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，焦点F（1，0），
根据抛物线的定义可知点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，
进而推断出当A，B，F三点共线时A到点B的距离与点A到抛物线的焦点F距离之和的最小，即m+1+|AB|的值最小，
此时|AO|=

42+32

=5，
∴|AF|=|A0|-|B0|=3，即m+1+|AB|的最小值为3，
∴m+|AB|的最小值为2．
故答案为：2

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的思想，并利用抛物线的定义解决．