Question

已知函数f（x）=x²-（m+1）x+4．
（Ⅰ）当x∈（0，1]时，若m＞0，求函数F（x）=f（x）-（m-1）x的最小值；
（Ⅱ）若函数G（x）=2^f（x）的图象与直线y=1恰有两个不同的交点A（x₁，1），B（x₂，1）（0≤x₁＜x₂≤3），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）F（x）=f（x）-（m-1）x=x²-2mx+4，x∈（0，1]，对称轴x=m（m＞0），对m分类讨论，即可得到函数F（x）=f（x）-（m-1）x的最小值；
（Ⅱ）G（x）=2^f（x）=2x2-(m+1)x+4与直线y=1=2⁰恰有两个不同的交点A（x₁，1），B（x₂，1）（0≤x₁＜x₂≤3），等价于关于x的方程x²-（m+1）x+4=0在[0，3]上有两个不等的实数根，建立不等式组，即可确定实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=f（x）-（m-1）x=x²-2mx+4，x∈（0，1]
对称轴x=m（m＞0），
①当0＜m≤1时，F（x）_min=F（m）=4-m²，
②当m＞1时，F（x）_min=F（1）=5-2m，
∴F（x）_min=

5-2m，m＞1 4-m2，0＜m≤1

（Ⅱ）G（x）=2^f（x）=2x2-(m+1)x+4与直线y=1=2⁰恰有两个不同的交点A（x₁，1），B（x₂，1）（0≤x₁＜x₂≤3），等价于关于x的方程x²-（m+1）x+4=0在[0，3]上有两个不等的实数根
∴

△=(m+1)2-16＞0 0＜ m+1 2 ＜3 f(0)=4＞0 f(3)=9-3(m+1)+3≥0

，解得3＜m≤

10

3

，
∴实数m的取值范围为(3，

10

3

]．

点评：本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查方程的根的讨论，考查函数与方程思想，属于中档题．