Question

1．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线垂直于直线，y=$\frac{1}{3}$x-2．
（1）设f（x）的极大值为p，极小值为q，求p-q的值；
（2）若c为正常数，且不等式f（x）＞mx²在区间（0，2）内恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出函数的单调区间，求出p，q，作差即可；
（2）问题等价于m＜x+$\frac{c}{{x}^{2}}$-3在（0，2）恒成立，令g（x）=x+$\frac{c}{{x}^{2}}$-3，x∈（0，2），通过讨论c的范围，求出g（x）的单调区间，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12+4a+b=0}\\{f′（1）=3+2a+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=3x（x-2），f（x）=x³-3x²+c，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴p=f（x）_极大值=f（0）=c，q=f（x）_极小值=f（2）=-4+c，
∴p-q=4；
（2）若c为正常数，不等式f（x）＞mx²在区间（0，2）内恒成立，
问题等价于m＜x+$\frac{c}{{x}^{2}}$-3在（0，2）恒成立，
令g（x）=x+$\frac{c}{{x}^{2}}$-3，x∈（0，2），
g′（x）=$\frac{{x}^{3}-2c}{{x}^{3}}$，
c≥4时，g′（x）＜0，g（x）在（0，2）递减，
∴m＜g（2）=$\frac{c}{4}$-1，
0＜c＜4时，g（x）在（0，$\root{3}{2c}$）递减，在（$\root{3}{2c}$，2）递增，
∴m＜g（$\root{3}{2c}$）=$\root{3}{2c}$-3+$\frac{1}{\root{3}{4}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．