Question

9．若正实数a，b满足a+2b=1，则下列说法正确的是（　　）

• A． ab有最大值$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$有最小值5
• C． $\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$有最大值1+$\sqrt{2}$
• D． a²+4b²有最小值$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由基本不等式求最值和二次函数求最值，逐个选项验证可得．

解答 解：∵正实数a，b满足a+2b=1，∴1=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，∴ab≤$\frac{1}{8}$，
当且仅当a=2b即a=$\frac{1}{2}$且b=$\frac{1}{4}$时取等号，故ab有最大值$\frac{1}{8}$，A错误；
由正实数a，b满足a+2b=1可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+2b）
=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥3+2$\sqrt{2}$，故B错误；
∵（$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$）²=a+2b+2$\sqrt{2ab}$=1+2$\sqrt{2ab}$≤1+2$\sqrt{2×\frac{1}{8}}$=2，故C错误；
由a+2b=1可得a=1-2b，由1-2b＞0可得b＜$\frac{1}{2}$，故0＜b＜$\frac{1}{2}$，
∴a²+4b²=（1-2b）²+4b²=8b²-4b+1，故当b=-$\frac{-4}{2×8}$=$\frac{1}{4}$时，式子取最小值$\frac{1}{2}$，D正确．
故选：D

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及二次函数求最值，属中档题．