Question

20．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+y＜3}\\{y＞x+1}\end{array}\right.$表示的平面区域为M，直线y=kx-1与区域M没有公共点，则实数k的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 0
• C． -3
• D． 不存在

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答 解：直线y=kx-1过定点D（0，-1）
作出不等式组对应的平面区域如图：
当k≤0时，直线y=kx-1与区域M没有公共点，
当k＞0时，要使直线y=kx-1与区域M没有公共点，
要使k最大此时直线y=kx-1经过B时，满足条件．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
此时点B在直线y=kx-1上，
则k-1=2，得k=3，
即要使直线y=kx-1与区域M没有公共点，
则k≤3，
即实数k的最大值为3，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划以及斜率的应用，结合直线的斜率，利用数形结合是解决本题的关键．