Question

19．已知sin（α+$\frac{π}{8}$）cos（α+$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，α∈（$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$），cos（2β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，β∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求sin（2α+$\frac{π}{4}$）及cos（2α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求cos（2α+2β）的值．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式求出sin（2α+$\frac{π}{4}$），判断出2α+$\frac{π}{4}$的范围，使用同角三角函数的关系求出cos（2α+$\frac{π}{4}$）；
（2）使用和角的余弦公式计算．

解答 解：（1）sin（2α+$\frac{π}{4}$）=2sin（α+$\frac{π}{8}$）cos（α+$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵α∈（$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$），∴2α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），∴cos（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{4}）}$=-$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵β∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴2β-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴sin（2β-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（2β-\frac{π}{4}）}$=$\frac{4}{5}$．
∴cos（2α+2β）=cos[（2α+$\frac{π}{4}$）+（2β-$\frac{π}{4}$）]=cos（2α+$\frac{π}{4}$）cos（2β-$\frac{π}{4}$）-sin（2α+$\frac{π}{4}$）sin（2β-$\frac{π}{4}$）
=-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{-3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，两角和的余弦公式，观察角的特点是解题关键．