Question

2．已知抛物线y=ax²，直线l₁，l₂都过点（1，-2）且互相垂直，若抛物线与直线l₁，l₂中的至少一条有公共点，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{8}$]．．

Answer 1

分析 先考虑抛物线与直线l₁，l₂没有公共点，由题意直线l₁，l₂的斜率分别设为k₁，k₂，过点P（1，-2）的直线设为y=k（x-1）-2，由由y=k（x-1）-2与抛物线y=ax²联立，得ax²-kx+k+2=0，由直线l₁、l₂都过点P（1，-2）且都与抛物线相切，知a≠0，△=k²-4ak-8a≥0，再由l₁⊥l₂，能求出a的取值范围，利用补集思想可得结论．

解答 解：先考虑抛物线与直线l₁，l₂没有公共点．
易知l₁斜率存在，且不为0．设l₁的斜率为k，则l₁的斜率为-$\frac{1}{k}$，
则l₁的方程为y+2=k（x-1），l₂的方程为y+2=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}}\\{y+2=k（x-1）}\end{array}\right.$得，ax²-kx+k+2=0．
由l₁与二次函数y=ax²（a＞0）的图象没有公共点知，${△}_{1}={k}^{2}-4a（k+2）＜0$…①．
同理，由l₂与二次函数y=ax²（a＞0）的图象没有公共点知，${△}_{2}=（-\frac{1}{k}）^{2}-4a（-\frac{1}{k}+2）＜0$…②．
由①得$2a-2\sqrt{{a}^{2}+2a}$＜k＜2a+2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$；
由②得k＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$，或k＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$．
依题意，若方程组①②无解
∴$2a-2\sqrt{{a}^{2}+2a}$≥$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$且2a+2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$≤$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$，即0＜a≤$\frac{1}{8}$．
∴方程组①②有解?a＞$\frac{1}{8}$．
∴抛物线与直线l₁，l₂中的至少一条有公共点，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{8}$]．
故答案为：（0，$\frac{1}{8}$]．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查正难则反的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．