Question

若函数y=

a•2x-1-a

2x-1

为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域；
（3）讨论函数的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=f（x）=

a•2x-1-a

2x-1

为奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，由此可得2a+

1-2x

1-2x

=0，从而可求a的值；
（2）f（x）=-

1

2

-

1

2x-1

，令2^x-1≠0，即可得到函数的定义域；
（3）f（x）=-

1

2

-

1

2x-1

在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数，再利用单调性的定义进行证明．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）=

a•2x-1-a

2x-1

为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0
∴

a•2-x-1-a

2-x-1

+

a•2x-1-a

2x-1

=0
∴2a+

1-2x

1-2x

=0
∴a=-

1

2

（2）f（x）=-

1

2

-

1

2x-1

，∴2^x-1≠0，∴2^x≠1，∴x≠0
∴函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（3）f（x）=-

1

2

-

1

2x-1

在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则2^x₁＜2^x₂，2^x₁-1＞0，2^x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（-

1

2

-

1

2x1-1

）-（-

1

2

-

1

2x2-1

）=

2x1-2x2

(2x1-1)(2x2-1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，则-x₁＞-x₂＞0，
因为f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以f（-x₁）＞f（-x₂），
因为f（x）是奇函数，所以f（-x₁）=-f（x₁），f（-x₂）=-f（x₂），
∴-f（x₁）＞-f（x₂），∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数单调性的定义，解题的关键是掌握函数单调性定义的证题步骤．