Question

（1）已知

OA

=

a

+

b

+2

c

，

OB

=2

a

-

b

+

c

，

OC

=2

a

+3

b

+2

c

，

OD

=5

a

-3

b

-

c

，其中

.

a

，

b

，

c

三向量不共面．试判断A，B，C，D四点是否共面？
（2）设

a1

=2

i

-

j

+

k

，

a2

=

i

+3

j

-2

k

，

a3

=-2

i

+

j

-3

k

，

a4

=3

i

+2

j

+5

k

．试问是否存在实数λ，μ，v，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+v

a3

成立？如果存在，求出λ，μ，v；如果不存在，请给出理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：应用题

分析：（1）判断A，B，C，D四点是否共面，可以通过平面向量基本定理，考察 

AB

，

AC

，

AD

是否共面解决，
（2）假设存在实数λ，μ，v，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+v

a3

成立，利用向量加法运算和向量相等的概念得出关于的方程组，通过方程组解得情况作出判断．

解答： 解：（1）∵

AB

=

OB

-

OA

=

a

-2

b

-

c

，

CD

=

OD

-

OC

=3

a

-6

b

-3

c

∴

CD

=3

AB

∴

CD

与

AB

共线，∴CD∥AB，
即A，B，C，D四点共面． 
（2）假设存在实数λ，μ，v，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+v

a3

成立
由题意，得（2λ+μ-2v，-λ+3μ+v，λ-2μ-3v）=（3，2，5），
∴

2λ+μ-2v=3 -λ+3μ+v=2 λ-2μ-3v=5

       
 解得λ=-2，μ=1，v=-3
所以存在λ=-2，μ=1，v=-3，使得使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+v

a3

成立

点评：本题考查向量加法的基本运算，向量共线，共面的判定，方程思想．