Question

（1）已知双曲线与椭圆

x2

9

+

y2

25

=1共焦点，它们的离心率之和为

14

5

，求双曲线方程．
（2）求与双曲线

x2

9

-

y2

3

=1有共同的渐近线，并且经过点（

3

，-4）的双曲线方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先根据椭圆方程求得椭圆的焦点和离心率，进而根据题意求得双曲线的焦点和离心率，进而求得双曲线方程得长轴和短轴，则双曲线方程可得；
（2）设双曲线的方程为

x2

9

-

y2

3

=λ，将点（

3

，-4）的坐标代入可求λ．

解答： 解：（1）依题意可知椭圆方程中a=5，b=3，
∴c=4
∴椭圆焦点为F（O，±4），离心率为e=

4

5

∴双曲线的焦点为F（O，±4），离心率为2，
从而双曲线中

a′2+b′2=16 c a =2

求得c′=4，a′=2，b′=2

3

．
∴所求双曲线方程为

y2

4

-

x2

12

=1；
（2）设与双曲线

x2

9

-

y2

3

=1有共同的渐近线的双曲线的方程为

x2

9

-

y2

3

=λ，
∵该双曲线经过点（

3

，-4），
∴λ=-5．
∴所求的双曲线方程为：

y2

15

-

x2

45

=1．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线的综合理解，正确设出方程是关键．