Question

已知数列{a_n}满足a_n=n，n∈N⁺．
（1）若m+p=3t，且m≠p，对任意的正整数m，p，t，不等式a²m+a²p＞c•a²t都成立，求实数c的取值范围；
（2）设A=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，求证2

n+1

-2＜A＜2

n

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用基本不等式证明即可；
（2）利用数学归纳法进行证明．

解答： （1）解：当a，b为实数时，a²+b²≥2ab，a²+b²+a²+b²≥2ab+a²+b²，
∴2（a²+b²）≥（a+b）²，当且仅当a=b时取等号，
∴（a²+b²）≥

(a+b)2

2

由题设知：∵am²+ap²＞c•at²，
∴m²+p²＞ct²
∴（

m

t

）²+（

p

t

）²＞c
∵m+p=3t
∴（

m

t

）²+（

p

t

）²≥

1

2

（

m

t

+

p

t

）²=

9

2

当且仅当

m

t

=

p

t

时即m=p时取等号，
∵m≠p，∴上式取不到等号，
∴c≤

9

2

；
（2）证明：①当n=1时，A=1，满足题意；
②假设当n=k时命题成立，即 2

k+1

-2＜A＜2

k

那么当n=k+1时，由归纳假设知：2

k+1

-2+

1

k+1

＜A＜2

k

+

1

k+1

∵

k+1

＞

k+1 + k

2

，
∴

1

k+1

＜2（

k+1

-

k

）
∴2

k

+

1

k+1

＜2

k+1

∵5k+1＞0
∴9k+9＞4k+8
∴9（k+1）＞4（k+2）
∴3

k+1

＞2

k+2

∴3

k+1

-2＞2

k+2

-2
∴此时 A＞2

k+2

-2，
即当n=k+1时，结论成立．
由①②知：2

n+1

-2＜A＜2

n

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查基本不等式的运用，考查数学归纳法，正确运用证明方法是关键．