Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²，g（x）=

1

3

-mx，m是实数．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）-g（x）有三个零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（1）=0，解出即可；
（Ⅱ）由f′（x）=x²-（m+1）x，得f′（x）=x（x-m-1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，即m≤x-1恒成立，由x＞2，得m≤1，
（Ⅲ）先求出h′（x）=（x-1）（x-m）=0，分别得m=1时，m＜1时的情况，进而求出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-（m+1）x，
由f（x）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1-（m+1）=0，
∴m=0，（符合题意）；
（Ⅱ）f′（x）=x²-（m+1）x，
∵f（x）在区间（2，+∞）为增函数，
∴f′x）=x（x-m-1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，
∴x-m-1≥0恒成立，即m≤x-1恒成立，
由x＞2，得m≤1，
∴m的范围是（-∞，1]．
（Ⅲ）h（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²+mx-

1

3

，
∴h′（x）=（x-1）（x-m）=0，解得：x=m，x=1，
m=1时，h′（x）=（x-1）²≥0，h（x）在R上是增函数，不合题意，
m＜1时，令h′x）＞0，解得：x＜m，x＞1，令h′（x）＜0，解得：m＜x＜1，
∴h（x）在（-∞，m），（1，+∞）递增，在（m，1）递减，
∴h（x）_极大值=h（m）=-

1

6

m³+

1

2

m²-

1

3

，h（x）_极小值=h（1）=

m-1

2

，
要使f（x）-g（x）有3个零点，
需

- 1 6 m3+ 1 2 m2- 1 3 ＞0 m-1 2 ＜0

，解得：m＜1-

3

，
∴m的范围是（-∞，1-

3

）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，参数的范围，是一道综合题．