Question

已知椭圆C过点M（2，1），两个焦点分别为（-

6

，0），（

6

，0），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程
（Ⅲ）求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由已知条件得a²-b²=6，且

4

a2

+

1

b2

=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=

1

2

x+m，由

x2 8 + y2 2 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+2mx+2m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．利用弦长公式和点到直线的距离能求出△OAB面积的最大值．
（Ⅱ）设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，由已知条件推导出k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=0，由此能证明直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

解答： （Ⅰ）解：设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由已知条件得a²-b²=6，且

4

a2

+

1

b2

=1，
解得a²=8，b²=2，
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）解：由直线l平行于OM，设直线l的方程为y=

1

2

x+m，
由

x2 8 + y2 2 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+2mx+2m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，
由l与椭圆C有不同的两点，知：
△=4m²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，且m≠0，
又|AB|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

2

4m2-4(2m2-4)

=

5

•

4-m2

，
点O到直线l的距离d=

|2m|

5

，
∴△OAB的面积S=

1

2

d•|AB|=|m|•

4-m2

=-

-(m2-2)2+4

，
此时直线l的方程为x-2u+2

2

=0或x-2y-2

2

=0．
（ⅡI）证明：设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查求三角形面积的最大值和直线方程的求法，考查直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．