Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB₁=2，求：
（1）异面直线B₁C₁与A₁C所成角的大小；
（2）四棱锥A₁-B₁BCC₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用平移法，确定∠A₁CB（或其补角）是异面直线B₁C₁与A₁C所成角，从而可得异面直线B₁C₁与A₁C所成角的大小；
（2）证明A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，即可四棱锥A₁-B₁BCC₁的体积．

解答： 解：（1）因为B₁C₁∥BC，
所以∠A₁CB（或其补角）是异面直线B₁C₁与A₁C所成角．…（1分）
因为BC⊥AB，BC⊥BB₁，所以BC⊥平面ABB₁，
所以BC⊥A₁B．…（3分）
在Rt△A₁BC中，tan∠A1CB=

A1B

BC

=

5

，所以∠A1CB=arctan

5

…（5分）
所以异面直线B₁C₁与A₁C所成角的大小为arctan

5

．           …（6分）
（2）因为A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥BB₁
所以A₁B₁⊥平面B₁BCC₁…（9分）
因为∠ABC=90°，AB=BC=1，BB₁=2，
所以VA1-B1BCC1=

1

3

SB1BCC1×A1B1=

2

3

…（12分）

点评：本题考查异面直线及其所成的角，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．