Question

比较(1+

1

n+1

)n+1与(1+

1

n

)n（n∈N）的大小．

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：不等式的解法及应用

分析：先建立一个不等式，设b＞a＞0，于是对于任意自然数n≥1有bⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹=（b-a）（bⁿ+b^n-1a+b^n-2a²+…+ba^n-1+
aⁿ）＜（b-a）•（n+1）bⁿ．整理为aⁿ⁺¹＞bⁿ[（n+1）a-bn]，令a=1+

1

n+1

，b=1+

1

n

代入即可得出．

解答： 解：先建立一个不等式，设b＞a＞0，于是对于任意自然数n≥1有
bⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹=（b-a）（bⁿ+b^n-1a+b^n-2a²+…+ba^n-1+aⁿ）＜（b-a）•（n+1）bⁿ
即bⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹＜（n+1）bⁿ（b-a）．
整理为aⁿ⁺¹＞bⁿ[（n+1）a-bn]，
令a=1+

1

n+1

，b=1+

1

n

，先计算：（n+1）a-nb=(n+1)(1+

1

n+1

)-n(1+

1

n

)=1．
∴aⁿ⁺¹＞bⁿ，
∴(1+

1

n+1

)n+1＞(1+

1

n

)n．

点评：本题考查了构建不等式证明结论的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．