Question

已知函数f（x）=ax²-

4

3

ax+b，f（1）=2，f′（1）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求过P（0，1）且与曲线y=f（x）相切的直线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，结合f（1）=2，f′（1）=1联立方程组求解a，b的值，则f（x）的解析式可求；
（2）设出切点坐标，由（1）得到f′（x₀）=3x₀-2，由直线方程的点斜式得到切线方程，代入点P的坐标后求得切点坐标，则切线方程可求．

解答： 解：（1）由f（x）=ax²-

4

3

ax+b，得
f′(x)=2ax-

4

3

a．
又f（1）=2，f′（1）=1，
∴

a- 4 3 a+b=2 2a- 4 3 a=1

，解得

a= 3 2 b= 5 2

．
∴f(x)=

3

2

x2-2x+

5

2

；
（2）设切点M（x₀，y₀），
则f′（x₀）=3x₀-2，
∴过切点M的直线方程为y-

3

2

x02+2x0-

5

2

=(3x0-2)(x-x0)．
∵切线过点P（0，1），
∴1-

3

2

x02+2x0-

5

2

=-3x02+2x0，
整理得：x02=

1

2

．
∴x0=±

2

2

．
当x0=

2

2

时，切线方程为y=(

3 2

2

-2)x+

7

4

．
当x0=-

2

2

时，切线方程为y=-(

3 2

2

+2)x+

1

4

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题的关键在于明确点P不是切点，属中档题，该题也是易错题．