Question

16．（1）对于任意实数a（a≠0）和b，求$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$的最小值；
（2）在（1）的条件下，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）换元，再分类讨论，即可求$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$的最小值；
（2）原式等价于$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$≥（|x-1|+|x-2|，所以有$\frac{3}{2}$≥|x-1|+|x-2|，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）设$\frac{b}{a}$=t，则$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$=|t+1|+|2t-1|，
t≥$\frac{1}{2}$时，原式=3t≥$\frac{3}{2}$，
-1＜t＜$\frac{1}{2}$时，原式=-t+2∈（$\frac{3}{2}$，3），
t≤-1时，原式=-3t≥3
∴最小值为t=$\frac{1}{2}$时取到，为$\frac{3}{2}$；
（2）原式等价于$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$≥（|x-1|+|x-2|
所以有$\frac{3}{2}$≥|x-1|+|x-2|，
x≤1，3-2x≤$\frac{3}{2}$，∴x≥$\frac{3}{4}$，∴$\frac{3}{4}$≤x≤1；
1＜x＜2，1≤$\frac{3}{2}$，∴恒成立；
x≥2，2x-3≤$\frac{3}{2}$，∴x≤$\frac{9}{4}$，∴2≤x≤$\frac{9}{4}$．
综上所述，$\frac{3}{4}$≤x≤$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．