Question

6．对于数列{a_n}，定义H₀=$\frac{{{a_1}+2{a_2}+…+{2^{n-1}}{a_n}}}{n}$为{a_n}的“优值”．现已知某数列的“优值”H₀=2ⁿ⁺¹，记数列{a_n-20}的前n项和为S_n，则S_n的最小值为（　　）

• A． -64
• B． -68
• C． -70
• D． -72

Answer 1

分析 由{a_n}的“优值”的定义可知a₁+2a₂+…+2^n-1•a_n=n•2ⁿ⁺¹，当n≥2时，a₁+2a₂+…+2^n-2•a_n-1=（n-1）•2ⁿ，则求得a_n=2（n+1），则a_n-20=2n-18，由数列的单调性可知当n=8或9时，{a_n-20}的前n项和为S_n，取最小值．

解答 解：由题意可知：H₀=$\frac{{{a_1}+2{a_2}+…+{2^{n-1}}{a_n}}}{n}$=2ⁿ⁺¹，
则a₁+2a₂+…+2^n-1•a_n=n•2ⁿ⁺¹，
当n≥2时，a₁+2a₂+…+2^n-2•a_n-1=（n-1）•2ⁿ，
两式相减得：2^n-1•a_n=n•2ⁿ⁺¹-（n-1）•2ⁿ，
a_n=2（n+1），
当n=1时成立，
∴a_n-20=2n-18，当a_n-20≤0时，即n≤9时，
故当n=8或9时，{a_n-20}的前n项和为S_n，取最小值，
最小值为S₈=S₉=$\frac{9×（-16+0）}{2}$=-72，
故选D．

点评 本题考查等差数列的通项公式，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．